February 10, 2018

Download PDF by Bodo Pareigis: Analytische und projektive Geometrie für die

By Bodo Pareigis

Die machine Graphik ist eine der schönsten und attraktivsten Anwendungen von Computern. Kleine Zeichenprogramme für den Hausgebrauch, Graphiken für den Buchdruck, Architektur-Zeichnungen, graphische Darstellungen von Wirt­ schaftsentwicklungen, Konstruktionszeichnungen für den Maschinenbau und ani­ mierte Graphiken bis hin zum abendfüllenden Spielfilm sind eine Auswahl der graphischen Möglichkeiten, die durch den machine erschlossen werden. Die laptop Graphik stellt höchste Anforderungen an die Leistungsfähigkeit von Computern. Gerade auf ihrem Gebiet reihen sich technische Neuerungen und Entwicklungen in dichter Folge aneinander. Neben den technischen Entwicklungen werden auch neue mathematische Me­ thoden und Algorithmen verwendet, um die Graphik noch leistungsfähiger zu machen. Eine der elegantesten für die Graphik verwendeten mathematischen Methoden wird durch den Begriff der "homogenen Koordinaten" beschrieben. Sie sind die Koordinaten, die in der projektiven Geometrie verwendet werden. Und tatsächlich stammen viele der verwendeten Methoden der computing device Gra­ phik aus der projektiven Geometrie. Darstellungen dieses schönen mathematischen Gebiets in einer Weise, wie sie für die Anwendungen in der laptop Graphik wünschenswert wären, sind schwer zu finden. Ich habe daher versucht, diejenigen Methoden der projektiven Geo­ metrie, die für Anwendungen in der machine Graphik besonders interessant sind, in diesem Buch zusammenzustellen. Die ersten drei Kapitel sind der allgemeinen Sprache der linearen Algebra ge­ widmet, dem Rechnen mit Koordinaten, Vektoren und Matrizen. Der Leser, der mit diesen Begriffen schon vertraut ist, kann diese Kapitel zunächst übergehen und sie später als Referenz für besondere Begriffe oder Algorithmen verwenden.

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Sei (F, f): (A, V,r) —+ {B,W,r') eine affine Abbildung. F ist genau dann bijektiv, wenn f bijektiv ist. BEWEIS: W i r bemerken zunächst, daß für jedes a £ A die Abbildung V 3 v ^ v + a G A nach Definition bijektiv ist. 3 Lineare Gleichungssysteme kommutativ, denn f(v) hauptung. 15 = F(v + CL). Seien (A, V, r) und (B, W,r') Satz. ) = F: A —• B, so daß (F, /) bzw. eine affine = b gilt. Seien a £ A und 6 £ B. D a n n gilt F(v affine Räume und sei f: V —• W eine Seien a £ A und b £ B zwei beliebige Punkte aus A Dann gibt es genau eine Abbildung BEWEIS: 41 • lineare Abbildung.

Der Vektorraum V zusammen mit einem Skalarprodukt a wird dann ein euklidischer Vektorraum genannt. Wegen des Gesetzes 3) wird die Abbildung a symmetrisch genannt. Wegen dieser Symmetrie gelten auch die Gesetze 1') (w, u + v) = (tu, u) + (IÜ, v) für alle u,v,w in V\ 2') (IÜ, Xv) = \(w v) für alle A i n R und alle v,w in V. } Wenn die Gesetze 1), 2), 1') und 2') zusammen für die Abbildung er erfüllt sind, dann heißt a eine Bilinearform. Ist das Gesetz 4) erfüllt, so nennt man a auch positiv definit.

Dann ist die Dimension Gleichungssystem, des Lösungsraumes m — rg(M). B E W E I S : folgt aus der vorhergehenden Diskussion. 23 Satz. Sei x • M — b ein lineares Gleichungssystem mit einer m x n-Matrix. Dann gelten: a) Das Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn r g ( ^ ) = r g ( M ) . b) Das Gleichungssystem ist genau dann für alle b £ K n lösbar, wenn r g ( M ) = n. c) Ist das Gleichungssystem lösbar, so ist die Lösung genau dann eindeutig, wenn r g ( M ) = rn. BEWEIS: a) Die Matrix (^) entsteht aus der Matrix M dadurch, daß der Vek- tor b als Zeilenvektor zur Matrix M an unterster Stelle hinzugefügt wird.

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Analytische und projektive Geometrie für die Computer-Graphik by Bodo Pareigis


by John
4.4

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